考研数学 120 分核心通法

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函数求极限
- 等价无穷小
- taylor 公式
线性相关
定积分
微分方程
微分学的三大证明
线代

函数求极限

1、分析：极限类型、化简方法

2、化简：

①根式有理化、②提公因子、③计算非零因子、④拆分极限存在的项、⑤等价替换、

⑥幂指函数指数化、⑦倒代换、⑧拉氏定理等.

等价无穷小

taylor 公式

taylor1

taylor2

线性相关

行变换，不改变列的线性相关性（比如：解方程组）

线性相关

线性无关的证明：

用秩的关系
用反证法，存在不全为零的 k 使得等于零

基础解系：是解，个数，无关

等价/等秩，加一个不改变等价/等秩的零向量，但是会线性相关，不满足个数，无关的要求

基础解析

正定

x 不等于零，使得 $x^T A x > 0$
$AA^T = E$

合同，相似，等价

特征值相同，特征向量不一定相同，like $AB$ 和 $BA$

1证明

定积分

微分方程

微分学的三大证明

一、不等式的证明：

1、函数不等式 $f(x) > g(x)$

移项到大于号一遍，令 $F(x) = f(x) - g(x)$
求导判定 $F(x)$ 的单调性， $F'(x),F''(x)$
验证最小值大于零，则 $F(x) \ge F_{min}(x) > 0$ , 即不等式成立

2、数值不等式 $f(a,b) > g(a,b)$

把 $b$ 换成 $x$ ，化为函数不等式 $f(a,x) > g(a,x)$
令 $F(x) = f(a,x) - g(a,x)$ ，利用单调性证明 $F(x) > 0$
所以 $F(b) > 0$ ,即不等式成立

3、积分不等式

变限积分函数形式的不等式，直接构造函数，利用单调性证明
定积分形式的不等式，把 $b$ 换成 $x$ ，在构造函数，利用单调性证明
利用单调性不方便证明的，考虑积分的 不等式性质、分部积分、积分中值定理、泰勒中值定理

方程根的问题（零点问题）

1、单调性

2、零点定理

微分中值定理

1、 $f(\xi)$ ：不含导数的情形

零点定理，介值定理，积分中值定理
若有积分形式的已知条件，可令 $F(x) = \int_0^xf(t)dt$ ,将 $f(\xi)$ 化为 $F'(\xi)$ ,用罗尔定理

2、 $f'(\xi),f''(\xi)$ ：含导数的情形

罗尔定理
拉格朗日中值定理

（1）找区间分界点，在不同区间上使用拉氏定理，凑一下结论即可；

（2）常用的区间分界点包括：第一问提示点、区间等分点、“值域”等分对应的介值点.
泰勒中值定理

（1）找展开点，得到泰勒展开式，代入数值，根据题目结论进行化简即可，最后一般需要

用介值定理推论来收尾；

（2）常用的展开点包括：第一问提示点、中点、端点、任意常数 t 点

线代

无外乎两种方法，一：矩阵的方法，二：向量的方法（矩阵分块），向量组

无外乎两种矩阵，A 和 $\lambda E -A$

无外乎是四种概念：行列式，秩，特征值，特征向量

无外乎是两种向量组： $Ax=0$ 和 $Ax=b$

行列式

基本性质

\begin{align*} |A^T| &=|A| \\ |kA| &=k^n|A|\\ |A^*|&=|A|^{n-1}\\ |A^{-1}|&=|A|^{-1} \\ |A|&=\prod \lambda \\ |AB|&=|A||B| \\ |A||B|&=|AB| \end{align*}

数字型

展开公式
逐行相加
爪型行列式
三行对角线
两线一星

抽象型

行列式性质恒等变形，拆项
列向量
特征值，相似
矩阵公式，法则恒等变形，E恒等变形：加减号，如 $A+B^{-1}$ ,利用单位矩阵恒等变形， $EA+B^{-1}E=(B^{-1}B)A+B^{-1}(A^{-1}A)$

应用

特征多项式

观察法，加加减减凑出 $\lambda -a$ 的公因式

克拉默法则

矩阵的秩

A中非零子式的最高阶数

$r(A)=r$

矩阵的秩=行秩=列秩
存在r阶子式不为零，任意r+1阶子式为0

证明 $|A|=0$

$Ax=0$ 有非零解
反证法，用 $A^{-1}$ 找矛盾
$r(A)<n$
特征值乘积
正负惯性指数之和
$|A|=-|A|$

常用公式

\begin{align*} r(A)=r(A^T) ,r(A^TA)=r(A) \\ r(A+B) \le r(A)+r(B) \\ r(AB) \le r(A),r(AB) \le r(B) \\ r(A) \le r(A,B),r(B) \le r(A,B) \end{align*}

AB=C时

r(A) + r(B) \le r(AB) + n

特殊的 AB=0 时 ,n 是 A 的列向量的个数

r(A) + r(B) \le n

特殊的 $(A+K_1E)(A+K_2E) = 0$

r(A+K_1E)+r(A+K_2E) = n

理解：A

特征值

定义： $A\alpha=\lambda \alpha$

上三角，下三角，对角矩阵的特征值就是矩阵主对角线上的元素

特征向量非零

不同特征值的特征向量线性无关
$k$ 重特征值至多有 $k$ 个线性无关的特征向量
$|A|=\prod \lambda$
$tr(A)=\sum \lambda$
若 $r(A)=1$ ,则 $\lambda_1=tr(A),\lambda_j=0$

A\alpha =\lambda \alpha

(\lambda E - A) \alpha=0

解行列式求解特征值

解齐次方程求解特征向量

$\lambda$ 的重数与齐次方程的基础解系的个数一致

矩阵

单位矩阵

利用可逆矩阵，对单位矩阵进行变形

初等矩阵

单位矩阵经过一次初等变换所得到的的矩阵

碰到矩阵可以简化计算 =w= ，初等矩阵在左边（ $PA$ ）就是做初等行变换，在右边（ $AQ$ ）就是初等列变换

初等矩阵均可逆，其可逆是同类型的初等矩阵，（对单位矩阵做一个逆操作即可）

给抽象矩阵，且带下标可设出初等矩阵，将抽象矩阵表示出来

对角矩阵

列向量，行向量展开

列向量 * 行向量 $\to$ matrix A

行向量* 列向量 $\to$ number = tr(A)

$\land^T=\land$

伴随矩阵

核心公式： $AA^*=A^*A=|A|E$

求 $A^*$ 的方法

直接法：用定义（不要丢正负号，不要排错队，第i行第j列的元素为 $A_{ji}$ ）
间接法： $A^*=|A|\cdot A^{-1}$
二阶矩阵求伴随：主对角线元素对换，副对角线元素变号

常用公式

\begin{align*} &AA^*=A^*A=|A|E \\ &A^*=|A|A^{-1} \\ &r(A^*)=\begin{cases} n & r(A)=n \\ 1 & r(A)=n-1 \\0 &r(A)<n-1\end{cases} \quad \text{可联系 } n-1 \text{ 阶子式记忆} \end{align*}

可逆矩阵

$|A| \ne 0$
$r(A)=n$
A 的列向量线性无关
0 不是 A 的特征值

常用公式

\begin{align*} (A^{-1})^{-1} &= A \\ (AB)^{-1}&=B^{-1}A^{-1} \\ (A^{n})^{-1}&=(A^{-1})^{n} \\ (kA)^{-1}&=\frac{1}{k}A^{-1} \\ A^{-1}&=\frac{1}{|A|} A^* \\ (A+B)^{-1} &\text{ 没有公式，常利用单位矩阵等价替换} \end{align*}

相似矩阵

B= P^{-1}AP

相似矩阵的特征多项式一致，特征值及重数相同，但特征向量不同

行列式对应相等 $|A| =|B|$

r(A)=r(B)

$\alpha$ 为 $A$ 的特征向量，则 $B$ 的特征向量为 $P^{-1}\alpha$

对应的有

B+kE=P^{-1}(A+kE)P

转置矩阵

|\lambda E -A^T| =|\lambda E-A|

与 $A$ 的特征多形式一致，特征值及重数相同，但特征向量不同（本质是因为 $A^T$ 并不是 $A$ 的多项式）

常用公式

\begin{align*} (A^{T})^{T} &= A \\ (A+B)^T&=A^T+B^T\\ (AB)^{T}&=B^{T}A^{T} \\ (A^{2})^{T}&=(A^{T})^{2} \\ (kA)^{T}&={k}A^{T} \\ \end{align*}

实对称矩阵

$A^TA$ is 实对称矩阵
可相似对角化，存在可逆矩阵 $P$ ， $s.t. \,\,\, P^{-1}AP=diag$
可正交相似对角化，存在正交矩阵 $Q$ ， $s.t. \,\,\, Q^{-1}AQ=diag$
不同特征值对应的特征向量必正交
k 重特征值必有 $k$ 个线性无关的特征向量

变成正交矩阵：
先相似对角化，求出特征向量
同一个特征值对应的特征向量要施密特正交化
然后单位化

反对称矩阵

正交矩阵

（ $\alpha,\beta$ ）= 0，则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交

A,B是同型正交矩阵

$AA^T=A^TA=E$

$A^T=A^{-1}$
正交矩阵的特征值只能为 $\pm 1$
$|A|=1$ 或 $|A|=-1$
$A^T,A^{-1},A^*$ 均为正交矩阵
$AB$ 为正交矩阵
每个列（行）向量都是单位向量
列（行）向量两两正交
最简单的正交矩阵： $\pm E$

合同矩阵

两个二次型 可以用 可逆线性变量 替换互相转换的 充分必要条件 是矩阵合同。

$A$ 与 $B$ 合同，即 $\exists$ 可逆矩阵 $C$ ，s.t.

C^TAC=B

线性方程组

$AB=0$

说明 $AX=0$ 有解 B，B 属于 $AX=0$ 的解空间

$AX=0$ 的解空间的维数等于 $n-R(A)$

所以 $R(B)\le n-R(A)$

即 $R(A)+R(B)\le n$

相似

\begin{align*} A \sim B &\Longrightarrow A^n \sim B^n \\ A \sim B &\Longleftrightarrow A+kE \sim B+kE \\ A \sim B,B \sim C &\Longrightarrow A \sim C \end{align*}

A	$\lambda$	$\alpha$
$kA+E$	$k\lambda+1$	$\alpha$
$A+kE$	$\lambda+k$	$\alpha$
$A^{-1}$	$\frac{1}\lambda$	$\alpha$
$A^*$	$\frac{	A
$A^n$	$\lambda^n$	$\alpha$
$B=P^{-1}AP$	$\lambda$	$P^{-1}\alpha$

可以相似，但不一定能相似对角化

可相似对角化的充分条件

实对称矩阵
有n个不同的特征值
k重特征值 $\lambda_k$ , $n-r(\lambda_kE-A)==k$
special: $r(A)=1$ ，直接写特征多项式 / 特征值

相似的必要条件

秩，迹，行列式，特征多项式，特征值都相等

$r(A)=r(B)$
$|A|=|B|$
$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$
$tr(A)=tr(B)$

基变换

正交变换

$\exists$ 正交矩阵 $C$ , $x=Cy$ ,s.t.

x^TAx=(Cy)^TACy=y^T B \,y, \quad \text{其中 } B \text{ 是对角矩阵（diag）}

B=C^TAC=C^{-1}AC

二次型

二次型对应的矩阵一定是实对称矩阵！

二次型正定

$n$ 元二次型 $x^TAx$ 正定的 充分必要 条件：

$A$ 的正惯性指数是 $n$
特征值都大于零
各阶顺序主子式均大于零
$A$ 与 $E$ 合同，即存在可逆矩阵 $C$ ，s.t. $C^TAC=E$

必要条件

主对角线元素都大于零！ $a_{ii} >0$
行列式大于零！ $|A| > 0$
A 可逆

判断正定的常用思路：

用顺序主子式，用特征值，用定义