2023 考研数学模拟卷复盘

Table of contents

李林六套卷

卷一

选择题

1. 无穷小比阶

2. 分离参数

3. 可导的判断

4. 几何上易得

5. taylor 后积分

6. 错误 错误的认为黑塞矩阵 = 0 是不偏导连续的情况，其实不是这样的。

7. 反常积分的收敛性

8. 对正交矩阵的概念不清楚 这里汇总一下

   

   对于本题来说

   $A^{*}A = |A| E = E$

   因为正交，进而有 $A^{*} = A^{-1} = A^{T}$

   即 $A_{ji} = a_{ji}$

   伴随矩阵：

   1. $|A^*| = |A|^{n-1}$

   2. A 和 伴随 秩的关系

   3. 当 $|A| = 0$ 时，$AA^{*} = A^{*}A=0E = 0$

      进而 $Ax= 0$ ,$A^{*}$ 的每一列都是解

      $A^{*} x = 0$ ,$A$ 的每一列都是解

   正交矩阵：$A^{-1} = A^{T}$

   （$\alpha,\beta$）= 0，则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交

   $AA^T=A^TA=E$

   1. $A^T=A^{-1}$
   2. $|A|=1$ 或 $|A|=-1$
   3. 每个列（行）向量都是单位向量
   4. 列（行）向量两两正交

9. 向量组转换为矩阵方程

10. 注意是充要条件

填空题

11. 极直互换

12. 粗心 $x^{\infty}$ 在 $x$ 不同取值下不同结果，以 $1$ 分界点，题目上是 $e^{nx}$ 应该是以 $0$ 为分界点

13. 不会 极坐标形式的斜渐近线求法

    $$x = r\cos \theta ,y =r\sin \theta$$

    进而

    $$x = \frac{\cos \theta}{3\theta - \pi} ,y = \frac{\sin \theta}{3\theta - \pi}$$

    当 $x \to +\infty$ 时，$\theta \to \frac{\pi}{3}$ ，然后求解就可以了

14. 格式错误 方法繁琐

    

    题目要求的 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 是 $z,x,y$ 的关系，t 作为一个中间变量存在，最后要消掉

    所以可以先将 $t$ 消掉

    $$x = (\frac{y}{\sin z} + 1) \cos z$$

    酱紫变成了隐函数求导，公式法 yyds

15. 积分区域写错了 题目做不出的时候不妨看看是不是题目有问题

16. 基本公式记错 把 $(2A)^*$ 看做一个普通矩阵的伴随就好了，先把系数提出来就简单了，

    $$\begin{align*} |(2A)^{-1}-(2A)^{*}| &= |\frac{1}{2} A^{-1} - 2^2A^*| \\ &= |\frac{1}{2} A^{-1} - 2^2 |A|A^{-1}| \\ &= |(-\frac{3}{2}) A^{-1}| \\ &= (-\frac{3}{2})^{3} |A^{-1}| \\ &= -\frac{27}{4} \end{align*}$$ $$$$

    伴随矩阵熟记母公式，实在不行可以硬推

    $$AA^{*} = A^{*}A =|A|E$$

    1. $(AB)^*=B^*A^*$
    2. $(cA)^*=c^{n-1}A^*$
    3. $|A^*|=|A|^{n-1}$

解答题

17. 极限的计算
18. 极直互换
19. 无条件极值，拉格朗日数乘法
20. 微分方程的计算
21. 简单中值定理，第二问可以用泰勒中值定理一步出来，也可以用多项式拟合。
22. 简单题

总结：

对正交矩阵和伴随矩阵的基础公式掌握不扎实

碰到做不出来的题目，直接跳，很有可能是读错题了，浪费再多时间也没有任何作用！！！

卷二

T9

幂零矩阵的秩：$A^k=0$ （$k$ 为满足该式的最小值） $\Longrightarrow$ $r(A) = k-1$ 乘一次 A 降一个维度，乘 k 次化为零矩阵

幂零矩阵的两种情况：秩一矩阵且迹为零，上三角矩阵且主对角线元素为零，下三角矩阵且主对角线元素为零。

$A^2 = 0 \Longrightarrow r(A)+r(A) \le 3$ ,且 $A$ 不是零矩阵，进而 $1\le r(A) < 2 \Longrightarrow r(A)=1$

非齐次线性无关解向量的个数为 $n-r(A) + 1$ ( 1 就是特解，因为齐次通解表示不出来特解，所以要加 1)

T13

注意积分区域是在 $x$ 轴的下方，要求的是面积，所以最后要加一个负号

​

做的最顺畅的一套卷子，但还存在不够细致的问题。

卷三

选择题

1. 抽象函数无穷小比阶，等式脱帽法~

2. 无穷间断点考虑无定义点和分母为零的点，即 $x= 0,1,2$

3. 分离参数

4. 齐次方程的通解是 $kx$ ，其中 $x$ 是非零解

5. taylor展开，$\frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-\cdots$

6. 取特殊值 $f(x) = -2x$

   $\int_0^tf(x)dx > \int_0^1tf(x) dx$ 描述的其实是 $F(x) = \int_0^xf(t)dt$ 两个割线的关系，如下

   $$\frac{\int_0^tf(x)dx}{t-0} > \frac{\int_0^1f(x) dx}{1-0}$$

   因为 $f'(x) < 0$ ,所以 $F''(x) <0$ ，从而利用凸函数的几何意义快速解题

   $$\begin{align*} \frac{\int_0^tf(x)dx}{t-0} &> \frac{\int_0^tf(x) dx+\int_t^1f(x) dx}{1-0} \\ \frac{(1-t)\int_0^tf(x)dx}{t-0} &> \frac{\int_t^1f(x) dx}{1-0} \\ \frac{\int_0^tf(x)dx}{t-0} &> \frac{\int_t^1f(x) dx}{(1-t)} \\ f(t_1) > f(t_2) &,\quad \text{其中 } t_1 \in(0,t),t_2 \in(t,1) \\ &\text{然后根据单调性，判断是否矛盾} \\ &\text{PS：实际过程应该反着来，这样就相当于反证推矛盾了} \end{align*}$$

   这类题还可以通过 积分的拆分 + 积分中值定理

   $$\begin{align*} &\int_0^tf(x)dx > t[\int_0^tf(x) dx+\int_t^1 f(x) dx] \\ &\text{进而有，}\quad (1-t)\int_0^tf(x)dx > t\int_t^1 f(x) dx \\ &\text{积分中值定理，得，}\quad (1-t)tf(t_1) > t(1-t)f(t_2) \\ &\text{即}\quad f(t_1) > f(t_2),\quad \text{其中 } t_1 \in(0,t),t_2 \in(t,1) \\ &\text{然后根据单调性，判断是否矛盾} \\ &\text{因为 } f'(x)<0,\text{ 所以 } f(t_1) > f(t_2) \\ \,\,\,\, & QED. \end{align*}$$

7. 通过黑塞矩阵判断极值点

8. 易得 $A\left( \begin{array}{c} 1\\ 1\\ 1\\ \end{array} \right) =0$ ，进而有 $r(A) \le n-1$ ,然后通过 $A$ 和 $A^*$ 的秩的关系 和 举一个特例

9. 注意 $c$ 可能为零
10. 配方法求解具体二次型很方便。

填空题

11. 简单题

12. 错误 注意到 $f$ 是一阶偏导连续的，所以要用定义才能求二阶偏导。

    $$\frac{\partial ^2z}{\partial x^2}|_{\left( 0,0 \right)}\ =\ \frac{\frac{\partial z}{\partial x}\left| _{y=0}\ -\ \frac{\partial z}{\partial x}|\ _{\text{(0,0)}} \right.}{x-0}$$

半路上就能化简，能化简的先拿出来单独计算。

13. 无条件极值，求黑塞矩阵即可。
14. 曲线的全长，确定定义域是关键
15. 物理题
16. 计算错误QAQ，粗心

解答题

17. 极限的计算

18. 这题求出的常数C，要带入原式在计算出来，好麻烦QAQ

19. 二重积分计算错误

20. 极坐标的计算，先 $r$ 后 $\theta$ 型

21. 不会 微分中值，可以通过 达布定理来说明存在一阶导等于零

22. 思路错误 正交变换和相似变换记混了。

    正交变换是跟合同相关的题目证明的是 $Q^TAQ= \land$

    相似对角化，即相似变化求解的是 $P^{-1}AP = \land$

细节还是有待提升，对时间的把握还是不够充分，选填到底应该做多长时间才行，我的建议就是能做多短就做多短，不会就跳题，先把大题的分都拿到，回过头来自然有信心拿选填的分，就算是前三个题没思路也给我跳！每次都是前三个题出毛病。

卷四

选择题

1. $\arctan x$ 的泰勒公式

   $\tan x$ 是正切，所以正

   $\tan x = x+\frac{1}{3}x^2+o(x^2)$

   $\arctan x = x-\frac{1}{3}x^2+o(x^2)$

   正弦是正，反正弦是负

   $\sin x = x-\frac{1}{6}x^3++o(x^3)$

   $\arcsin x = x +\frac{1}{6}x^3 + +o(x^3)$

2. 拉中的运用 $f(x+1) -f(x) = f'(\xi)$

3. 同区间的定积分比较的大小

4. 分部积分

5. 极坐标的交换积分次序

6. 微分方程解的结构

7. 构造关系，求导即可

8. 非齐次有解的充要条件：系数矩阵和增广矩阵同秩

9. 推出 $\alpha^T\beta = 0$ ,同时说明 $\alpha$ 和 $\beta$ 正交且线性无关。

   

   我们可以得出结论：矩阵和转置矩阵，属于不同特征值的特征向量正交

10. 可相似对角化的充分条件是 代数重数等于几何重数。若不能相似对角化的相似，相同特征值对应的几何重数应该相等。

填空题

11. 定积分的定义，刚开始硬算的，算完才知道等于零，又检查了一下是不是奇函数QAQ

12. 连续求导，找规律

    

    对方程两边求导，得

    $$f'(x) = e^{-f(x)}$$

    即 $e^{f(x)} f'(x) = 1$ ，两边同时积分，得 $e^{f(x)} = x+c$ ，即 $f(x) = \ln(x+c)$

    这步转化太妙了，积累一下。

13. 求导分析函数性态即可

14. 参数方程形式求渐近线，注意 $x \ \to \infty \Longrightarrow t \to -1$ ,一定不要带着 $x$ 就直接上去莽了

15. 绕极轴的旋转体体积计算

    直接上基本公式

    $$2\pi\iint y \,\,d\sigma$$

    然后再转换成极坐标形式，注意不要忘记 家可比 $r$ 哦

    $$2\pi\int_a^bd \theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} r \sin \theta \,\,r dr$$

16. 将 B 按列分块，将矩阵方程转化成相似的形式，进而求出特征值

解答题

17. 拉中的应用

18. 硬凑导数即可

    微分方程题，做完也再检查一遍！

19. 条件极值，拉格朗日数乘法

20. 计算错误 二重积分的计算，又又又计算错了

    以后做二重积分题目，做完再算一遍，保证正确率！

21. 解析几何 + 微分方程题，不会做

22. $|A| = 0 \Longrightarrow AA^*=A^*A= 0$

    即 $A$ 的每一列都是 $A^* x=0$ 的解

    $A^*$ 的每一列都是 $Ax=0$ 的解

二重积分和微分方程的题目做完了再检查一遍，一定要保证会做的题目都拿到分啊！

卷五

选择题

1. 渐进线的求法，在分母为零的点上和正负无穷处

2. 先将 $\ln\sqrt{x^2+t^2}$ 化简为 $\frac{1}{2} \ln(x^2+t^2)$

3. 不会

   

   注意到在 $x \in(0,\frac{\pi}{2})$ 上，$\cos x$ 单调递减，$\sin x$ 单调递增，同时有不等式 $\sin x <x < \tan x$

   进而有 $\cos (\sin t) > \cos t$ ，（外层函数单调递减，内层函数越大反而整体越小）

   即 $I_1 > 1$

   直觉上 $I_2=I_3$ ，注意到外层函数是相同的，内层函数一个从大到小变化，一个从小到大变化，走过的预期是完全对称的，所以积分相等。数学上采用区间再现的方法说明 $I_2\sin(\cos t) \xrightarrow{u=\frac{\pi}{2}-t} \sin(\sin t)=I_3$

4. 注意到解的形式为 $y=kx^3+x$ ，代入求 $k$ 即可。

5. 隐函数存在定理，偏导分母不为零

6. 选择题，直接验证一下 $a=1$ 是否收敛即可

7. 可微的定义

8. a,c,d 都是说的一个意思，所以选b

9. $AA^T$ 是天然的实对称矩阵，实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交

10. 粗心出错了，直接写出 $f(x) = (x-1)^3-1$

填空题

11. 极直互换

12. 犯了部分取极限的错误

    

    先给出错误做法，如下图所示

    

    错误的原因在于 随意 ，部分取极限

    正确的方法是用泰勒展开，用佩亚诺型的展开到两阶以上

    

13. 抽水问题

14. 旋转体体积的计算

15. 不会

    

    极坐标形式转化为参数方程来求解，将变量全看做是 $r$ 的函数

    

    也可以通过 $\theta(r)$ 反解出 $r(\theta)$ ，然后再利用极坐标系下的弧长公式，不过这个题不能算QAQ

16. 行列式的定义题

解答题

17. 极限的计算

18. 注意到 $f(x)$ 可导，所以先求导，再令 $x=-x$ ,两个关系式结合求出 $f(x)$ 来

19. 多元微分的换元

20. 数列的单调有界准则，有界性通过递推关系 + 数学归纳法易得：$x>0$ 。单调性通过 $x_{n+1}=f(x_n)$ ，通过求导 + 判断前两项大小，得出单调递减，进而得到存在极限

21. 考点不清楚 考察反三角的代换问题，

    

    注意 $\arcsin x$ 在 $(-\frac{\pi}{2},0)$ 和 $(0,\frac{\pi}{2})$ 对应的反函数是不同的，

    前者是 $\pi -x$ ，后者是 $x$ 。因为前者要偏移一个区间长度。

22. 正交变化。

卷六

选择题

1. 导数的定义
2. 变上限积分的可导判断
3. 数形结合
4. 二阶常系数齐次微分方程，写出通解，然后用 $f'(x)$ 和 $f''(x)$ 将 $f(x)$ 表达出来再积分
5. 逆用牛莱公式
6. 极直互换
7. 求特解，微分算子发
8. 易得 $r(A) = 2= a$ ,根据行列式 = 0，和 $r(A) = r(A,\beta)$ 确定三个参数的值。）好像只通过行列式为零就能确定QAQ
9. 范德蒙行列式，易得 $r(A) = 3$ ，且四秩相等
10. 正定二次型，$Ax=0$ 只有零解，即 $r(A)=n$

填空题

11. 极限的计算
12. 反函数，利用taylor公式和等价无穷小化简，切记不要部分取极限
13. 多元微分求导
14. 函数在一个区间内的平均值为：$\frac{\int_a^b{f\text{(}x\text{)}dx}}{b-a}$
15. 弧长的计算，注意对 $y$ 求导
16. 易得 $r(A) = 1$ ,不是可逆形式的二次型问题，如果要求具体的可逆矩阵的话，所以只能采用配方法的方法来写

解答题

17. 掌握不扎实 极限形式的积分，通常要夹逼放缩

18. 多元微分，好复杂的过程QAQ

19. 抽水问题

20. 二重积分的对称性，关于 $y=x$ 对称和关于 $y=-x$ 对称

21. 微分方程题，第二问极限要三角换元，然后点火

22. 简单题，正定二次型为零，有两种思路，第一个是用配方法然后解线性方程组，第二种就是正交变化，求 $x=Qy$ 中的 $Q$ 即可。

    

李林四套卷

卷二

选择题

1. 等价无穷小 + 等式脱帽法

2. 只能在端点取到最大值

3. 在闭区间上是可导的，所以整个区间一定存在最值，由边界处的导数可以判断，端点不是最大值，开区间中存在极大值，在这里也是最大值

4. $I_1 = \frac{\pi}{2}I_2$ ,$I_3$ 通过区间再现和 $I_2$ 比较大小

5. 偏导的定义，采用一重极限的方式书写

6. 积分因子法秒杀

7. 二重积分的几何意义，是曲顶柱体的体积，然后转换为极坐标即可

8. 考察初等矩阵

9. $AA^* = 0$ 时，$A^*$ 的每一列都是 $Ax =0$ 的解

10. $(AB)^T = B^TA^T=BA \ne AB$ ,无法说明是可交换的。

    $(A+B)^T=A^T+B^T=A+B$

填空题

11. 这里犯了部分取极限的错误：$\xi_n = \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2n}$ ,进而 $y(\xi_n)=\tan^n(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2n})$ ,我直接代入 $\xi=\frac{\pi}{4}$ 了，寄
12. 求拐点的法线的方程
13. 存在奇点的反常积分，奇点处要求极限
14. 用积分因子法解出 $y(x)$ ,因为是绕 $x$ 轴旋转，所以不用考虑在 $x$ 轴上方还是下方
15. 积分区域关于 $y=x$ 对称
16. 将所有列加到第一行就能提出一个 $a$ ,注意在计算行列式时，注意正负号。

解答题

17. 等价无穷小
18. 去绝对值求导即可
19. 二重积分的计算：极直互换
20. 构造辅助函数，连续求导
21. 直接构造辅助函数：$g(x)=\int_0^xf(t)dt-f(0)x-f(x)$
22. 因为相似且 $A$ 是实对称矩阵，所以能相似对角化

卷三

选择题

1. 等价无穷小的比阶

2. 参数方程求导

3. —

4. 由 $f'(x) < f(x)$ 可得 $f'(x)-e^x <f(x)-e^x$ ，进而有 $[e^{-x}(f(x)-e^x)]'<0$ ，所以 $e^{-x}(f(x)-e^x) < e^0(f(0)-1) =0$ ，所以 $f(x) <e^x$

   答案中给出的方法：

   易得 $[e^{-x}f(x)]' < 0$ ,所以令 $g(x) = e^{-x}f(x)$ ,进而有 $g(1) \le g(x) \le g(0)$ ，即 $f(x) <e^x$

5. 具体点的偏导数值可以用定义法

6. 幂函数的大小比较：当 $x \in (0,1)$ 时，$x < \sqrt{x} < x^{\frac{1}{3}}$

7. 微分方程解的结构

8. $r(A) = n-1$

9. —

10. $A=E - \alpha\alpha^T$，两边同乘 $\alpha$ 得 $A\alpha = 0$，所以 $r(A) \le 2$，进而 $r(A^*) = 1$ 或 $0$，然后将抽象的 $\alpha$ 具体化，令 $\alpha = (0,0,1)^T$，求解得

填空题

1. 定积分的定义
2. 弧长的计算
3. 可微的定义
4. 求导分析函数性态
5. 一阶线性微分方程
6. 计算题

解答题

1. 参数方程求导

2. 题目印刷错误，原题应为 $|x^2-y^2|e^{-x^2-y^2}$ --> $(x^2-y^2)e^{-x^2-y^2}$

   绝对值一般处理方法：

   1. 去绝对值分类讨论 （多元微分中显然不合适）
   2. 直接去绝对值：$|g(x)| \le k$ --> $-k\le g(x) \le k$

3. 解微分方程得 $f(x) = x\sin x$ ,然后就是 类周期函数的一系列操作

4. 利用对称性化简，直角坐标下解不出来，考虑极直互换

5. 正交矩阵的性质：$A^T=A^{-1}$ ,$|A|^2=1$

卷四

若在零处分母为零且分子为零，采用极限的方式来求

张宇四套卷

卷一

选择题

1. 等价无穷大的计算

2. 脱帽法

3. 构造两个函数，分别求导分析

4. 微分方程解的结构

5. 收敛性的判断，$\sqrt{x^3+x}$ 趋于无穷时是 $x^{\frac{3}{2}}$ ,趋于零时是 $x^{\frac{1}{2}}$

6. 构造变上限积分函数，$F(x) = \int_0^xf(x)dx$

7. 可微的定义，注意分母是 $\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}$

8. 由于 $r(A) = r$ ，则 $Ax = 0$ 的基础解析含有 $n-r$ 个解向量，将这 $n-r$ 个解向量作为 $B$ 的列，其余列取 $0$ ,则有 $r(B) = n-r$ ，且$AB=0$

   $CA = 0 --> A^T C^T = 0$,这样就转换为了 $A$ 选项

   A 对 B 也对，排除A,B ,C 是三个秩为 $r$ 的矩阵相乘结果的秩可能为 $r$ ,D 感觉没什么确定的结果

9. 可以推出 $(E-B)(A-E)=0$ ，进而得出 $r(E-B) + r(A-E) \le 3$,所以 $r(A-E) \le 1$ ,即 $\lambda = 1$ 至少是 $A$ 的二重特征值，又因为 $A$ 不可逆，所以 $\lambda = 1$ 是二重特征值，$\lambda = 0$ 是一重特征值

10. 分别求出 $A$ 和 $B$ 的特征多项式，然后求解特征值对应的几何重数即可

填空题

11. taylor级数展开求高阶导，然后定积分的定义
12. 将 $v,u$ 转换成 $x,y$ 的函数，结果中不应该再出现 $u,v$
13. 参数方程求二阶导
14. 微元分析法，注意这里的 $S$ 并不是 $\pi r^2 dy$ ，而是 $2rdy$
15. $y=-x$ 将区域 $D$ 划分为两个区域，一个关于 $x$ 轴对称，另一个关于 $y$ 轴对称
16. 利用 $A^*=|A|A^{-1}$ 公式 ，求出 $(B-2E)^*$ 的具体矩阵

解答题

17. 极限计算题

18. 无条件极值

19. 【张宇四套卷·卷一】

    

    基本思路：先计算出一个周期内的积分，然后计算出第 $k$ 个周期的积分，然后累加。

    解题步骤：

    一个周期内的积分为 $A=\pi \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f^2(x) dx = \frac{\pi}{8}(1-e^{-2\pi})e^{-2k\pi}$

    累积所有周期的积分为：$\sum = \frac{\pi}{8}(1-e^{-2\pi})[1+e^{-2\pi} + e^{-4\pi}+\cdots] = \frac{\pi}{8} (1-e^{-2n\pi})$

    等比数列求和公式：

    $$S= \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$$

20. 分成三个区域进行积分。

21. 不会QAQ

22. 我的思路是利用公式 $AA^*=|A|E$ ,得出 $A = (A^*)^{-1}$ ，然后求出相似对角化求高阶幂。

卷二

选择题

1. $f(x) - \frac{1}{2} = \frac{e^{x}-1-x}{(e^{x}-1)x} -\frac{1}{2}$ ，犯了部分取极限的错误，应该先通分再等价无穷小的

2. 抓大放小

3. 简单题

4. 易得出 $b_n$ 单调递减， $a_n$ 单调递增，进而 $b_n$ 单调递减有下界， $a_n$ 单调递增有上界

   $A = \frac{A+B}{2} \Longrightarrow A = B$

5. 微分方程解的结构

6. $x^2+y^2-1>\ln(x^2+y^2)$ ，$x^2+y^2<1$

7. 多元函数的换元

8. 通过行列式计算得到 $B$ 是可逆矩阵，所以非齐次有唯一解

9. 合同矩阵的定义

10. 列向量组等价能推出矩阵等价，也可以做初等行变换证明等价

    $$r(A|B ) = r(A) = r(B)$$

填空题

11. 换元解出极限，然后凑微分积分

12. 简单题

13. 有点怪的积分

    $$\begin{align*} \int \frac{e^x(1-x)}{(x-e^x)^2} dx = \int \frac{1}{(1-\frac{e^x}{x})^2} d(1-\frac{e^x}{x}) \end{align*}$$

14. 偏积分计算题

15. 二重积分计算题

16. 不能相似对角化，求一下几何重数即可

解答题

17. 解微分方程，旋转体体积的计算

18. 先做一个换元，将根号去掉 $x = t^2$ ,然后化简求导分析。

    

    基本思路：分离参数构造辅助函数，分类讨论（$x>1$ 和 $x<1$ )的情况

    做题套路：把所有不舒服的条件转化成舒服的

    1. 将 $t = \sqrt{x}$
    2. 因为 $x-1$ 在大于1，和小于1 的情况下正负不同，乘除会改变不等号的方向，所以要分两种情况来分别讨论。

19. 积累积分 $\int \sqrt{1-y^2} dy = \frac{y\sqrt{1-y^2} +\arcsin y}{2}$ ，证明可以通过分部积分来算。

20. 求旋转体体积，然后拉格朗日乘数法

    值得注意的是：a = 0,b = 0 特殊情况下改变了区域 D，需要单独考虑

21. 物理题不想做QAQ

22. QR分解

卷三

选择题

1. 等价无穷小的估阶

2. 两个同型函数作差，利用拉中

3. 解微分方程，然后求导分析

4. 反常积分的收敛性

5. 隐函数求导

6. 隐函数求导 + 微分方程

7. 二重积分的计算，注意划分成两个区域，两个区域分别计算

8. 利用行列式的定义计算，注意：逆序对不要漏掉

9. 

容易得出 A 对，B 错，C 错，同解是指 $r(B ) =r(C) = r\left( \begin{array}{c} B\\ C\\ \end{array} \right)$ ,注意 $Ax=0$ 均是 $Bx = 0$ 的解，与同解是不同的，前者是说明解空间的维数大小关系，后者说明行向量组行等价。

D $r(A) = r(B)$ 和 $Ax = 0$ 的解均为 $Bx= 0$ 的解，可以说明 $Ax= 0$ 与 $Bx=0$ 同解，又因为 $A^TAx = 0$ 和 $Ax=0$ 同解，所以 $A^TAx = 0$ 和 $Bx=0$ 同解

四秩相等：$r(A) = r(A^T) = r(AA^T) = r(AA^T)$

为了讨论方便，这里我们认为 $A$ 是 n × m

行等价：$r(A) = r(A^TA) = r\left( \begin{array}{c} A\\ A^TA\\ \end{array} \right) =r(\left( \begin{array}{c} E\\ A^T\\ \end{array} \right)A) = r(A)$

列等价：$r(A) = r(AA^T) = r(A,AA^T) = r(A(E,A^T)) = r(A)$

10. 正定的特点和惯性定理

填空题

11. 斜渐近线求法

12. 找规律，答案用的牛莱公式，当时没想到，应硬莽的

13. 分两段区间积分

14. 偏导的计算，注意答案的格式：$F(x) = f(x,f(x,x))$ 进而，$dF= F'(x) dx$,不要漏掉 $dx$

15. 二重积分，先转化成累次积分，然后利用奇偶性化简

16. 

    我的方法是写出二次型对应的矩阵 $A$，然后求行列式为零。解析给了一种比较好的思路。直接判断线性变换不是可逆变换。

    

解答题

17. 错误的认为当 $x \to 0$ 时， $\arctan (1+x)$ ~ $x$ ，实际上应该是 $\lim\limits_{x\to 0}\arctan (1+x) =\frac{\pi}{4}$
18. 无条件极值和条件极值。条件极值运用拉格朗日乘数法，属于齐次性，将最值转换为 $\lambda$ 的取值，通过齐次方程有非零解，即系数矩阵行列式为零得出最值。
19. 根据条件列方程，然后计算旋转体体积
20. 考察二重积分的中值定理
21. 第一问是零点定理，第二问是连续用两次罗尔定理。
22. 不可相似对角化的两个矩阵相似，不会QAQ

卷四

选择题

1. 

   可能存在的间断点位置是 $0,1,2,-2$，我漏掉了 $1$，寄

2. 简单题

3. 考察 $e^{\infty}$

4. $y=(x-1)^2(x-2)^2(x-3)^2$ 存在五个极值点，四个拐点。穿线法画出草图即可。

5. 直接令 $a=1$ ，求出比值

6. 可微的定义

7. 好像超纲了，这里只给出解为 $a+bi$ 所对应的方程：$(r-a)^2+b^2=0$

8. 确定 $A$ 和 $B$ 的秩即可

9. 谱分解

10. $A\alpha = \lambda\alpha$ 任意 $n$ 维向量都是特征向量 --> $(A-\lambda E)x = 0$ 的解空间的维数是 $n$ 维，$n-r(A-\lambda E)=n$ ，进而得到 $A=\lambda E$

填空题

11. 等价无穷小，利用taylor，注意不要部分取极限

12. 隐函数公式法求导

13. 不定积分的计算，不要忘记常数 $C$

14. 

    这道可微出的很好

    说几个容易出错的地方，注意这里的 $Z$ 并不是 $f(x,y)$ ，而是 $Z=f(x,f(x,y))$

    因为是趋向于 $(1,1)$ 的微分，所以先要改写一下

    $$\lim_{(x,y) \to (1,1)} \frac{f(x,y)-2(x-1)-3(y-1)-1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}} \cdot\frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}} =2$$

    进而得到 $f(1,1)=1$ ，$\frac{\partial f}{\partial x} = 2$ ,$\frac{\partial f}{\partial y} = 3$

    $$\begin{align*} \frac{\partial z}{\partial x} &= f_x+f_y \cdot f_x = 8\\ \frac{\partial z}{\partial y} &= f_y \cdot f_y = 9 \end{align*}$$

15. 二重积分的计算

16. 反对称矩阵的几个考点

    1. $A = -A^T$
    2. $a_{ii} = 0$
    3. $tr(A) = 0 = \sum \lambda$
    4. $|A| = 0$

解答题

17. 

    求极值的方法：首先求出驻点和不可导点（即 $f'(x) = 0$ 和 $f'(x)$ 不存在的点），然后考察这些点两侧的 $f'(x)$ 得符号，由极值的第一充分条件判定 。一定要注意不可导点，不要忽略

    极值的第一充分条件不需要 $x = x_0$ 处可导，即 不可导点也可以用该条件判断

    

18. 用脱帽法证明导数存在

19. 偏导数的计算

20. 积分区间是 $\frac{1}{4}$ 圆，然后极直互换即可

21. 第一问柯西中值定理

    第二问放缩然后夹逼准则

22. 加加减减凑特征向量

合工大超越五套卷

卷一

选择题

1. 考察高斯函数这个类周期函数和间断点的判断

2. 相同积分区间比较几分大小

3. 因为函数是连续的，所以不可能存在单点是可去间断点的情况，而且是闭区间连续，端点也不会突变

4. 先判断极限类型：$\infty \cdot 0$ 型，先转换为 $\frac{0}{0}$ 型，然后洛，估阶

5. 渐近线的求法，这里注意当 $x \to 0$ 时先大体估计一下，不要着急taylor展开，这里代入 $0$ 得 $\frac{1}{0}$ ，直接确定是垂直渐近线

6. 偏导数的计算。

7. 极直互换，注意积分区域要画准确。

8. 将向量组转换成矩阵的形式，利用矩阵的秩进行判断

9. 同解问题

10. 

    将广义初等行变换转换为初等行变换

    不妨令 $A_1 = 2 ,A_2=3,E=1$ ,此时矩阵转化为 $\left( \begin{matrix} 2& 1\\ 1& 3\\ \end{matrix} \right)$,此时符合正定矩阵。

    对应的选项也转化为 $A_1>0,A_2>0,A_2-A_1^{-1}>0,|A|=|A_2-A_1^{-1}|$

    所以选 D

填空题

11. 求在 $1$ 处的高阶导数，只能考虑牛莱公式

    将函数 $f(x) = (x^3-1)^n(\arctan x)^2$ 转换为 $f(x) = (x-1)^n(x^2+x+1)^n (\arctan x)^2$

    令 $g(x)= (x^2+x+1)^n (\arctan x)^2$ ,则 $f(x) = (x-1)^ng(x)$

    然后利用牛莱公式即可，注意到当 $k \in(0,n-1)$ 时， $[(x-1)^n]^{(k)} = 0$

    所以 $f^n(1)= C_n^n [(x-1)^n]^{(n)} \cdot g(1) = n! \cdot 3 \cdot {(\frac{\pi}{4})}^2$

12. 定积分的计算

13. 隐函数求偏导

14. 极直互换

15. 可降阶的微分方程

16. 简单题

解答题

17. 解微分方程
18. 不定积分的计算
19. 拉格朗日数乘法
20. 求导分析题
21. 划分积分区域的二重积分
22. 常规题

卷二

选择题

1. 等价无穷小
2. 周期函数积分的计算
3. 分离参数，注意当 $x \to 1$ 时是分母等于零的时候，取极限算他的值
4. 考察不等式 $\sin x<x < \tan x$ ，然后取个反函数
5. 有亿点计算量，完全可以出一道大题
6. 可微的判断
7. 二重积分比较大小
8. $A^*$ 的秩为一，且是对称矩阵，所以 $A^*$ 的所有元素都相同
9. 同上，$|A| = 0$ 时，$AA^*=0$
10. $A$ 和 $A^T$ 的特征值相同，特征向量不同
    • 分别考虑 $A^*,A^2$ 为零矩阵的时候，表格逆过来就不适用了

填空题

11. 周期函数的积分
12. 积分的定理
13. 偏积分
14. 交换积分次序
15. 物理题
16. 考察初等变换

解答题

17. 数列极限的方法

    • 数学归纳法
    • 单调有界准则
    • 压缩映像法

18. 求导分析函数性态

19. 无条件极值

20. 中值极限，对 $f(x_0+h)$ 和 $f'(x_0+\theta h)$ 进行taylor 展开

21. 二重积分的偏心圆

    • 广义极坐标
    • 极坐标
    • 直角坐标

22. 实对称的不同特征值的特征向量互相正交，相同特征值的特征向量不一定正交，所以才有了正交化。

    第二问是常规的正交变换

    第三问利用 正交变换保模长不变

卷三

选择题

1. 考察反常积分收敛的判断

2. 考察等价无穷小的估阶

3. 考察 $x^\infty$ 这一分段函数在 $x=1$ 附近的情况

4. 构造函数 $f(x) = 2x^2 - \int_0^{x^2} |\sin t| dt - 1$

   函数为偶函数，先考虑大于零的部分，求导得 $f'(x) = 4x -2x |\sin x^2| > 2x>0$

   通过零点定理说明存在一个零点，又因为单调，进而有且仅有一个零点。

   小于零的部分，因为是偶函数，所以也有一个零点

5. 通过连续就排除了三个选项…

6. 等式脱帽法和偏导数的定义

7. 累次积分交换积分次序

8. $Ax = 0$ 和 $Bx = 0$ 有非零公共解，所以特征值为零时，有公共的特征向量

9. 基础解系线性无关，判断一下就完了

10. 取特殊值 $n=2$

填空题

11. 定积分的计算

12. 微分方程解的结构

13. 无条件极值

14. 二重积分的计算

15. 旋转体的体积

16. $r(A+E) \le 2$ ，所以 $|A+E| = 0$

解答题

17. $\arctan x = x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5+O(x^5)$
18. 简单题
19. 偏导和微分方程的综合题
20. 考察零点定理和罗尔定理
21. 二重积分的计算
22. 常规正交变换题，实对称矩阵的正交变换可以采用谱分解定理来反求矩阵 $A$ 。

卷四

选择题

1. 用 $a^n-b^n$ 展开
2. 求导即可
3. 星型线
4. 简单题
5. 变上限函数的可导性，判断函数是否连续即可
6. 偏导的计算
7. 累次积分交换积分次序
8. 正定二次型：$a_{ii}>0$
9. 实对称矩阵，很好的条件
10. 简单题

填空题

11. 参数方程求导
12. 微分方程解的结构
13. 导数的定义和偏导的定义
14. 二重积分的定义
15. 分部积分
16. 简单题

解答题

17. 反常积分，先看看是否存在奇点。

18. 考察压缩映像，同时要同时说明奇子列和偶子列都收敛于同一个值，才能说明极限存在

19. 无条件极值，纯算题

20. 代入求解就完了

21. 好复杂的一个二重积分

    

    可以转化为一个圆套小圆的问题，大圆采用极坐标的方法，小圆采用广义的极坐标

    

22. 常规题

卷五

​

选择题

1. 渐近线：在分母为零的情况才会有垂直渐近线，在无穷时为水平/斜渐近线
2. 等式脱帽法
3. 弧长度
4. 极值的判断
5. 极值判断的第三个充分条件
6. 偏导的定义
7. 二重积分计算题
8. 满足系数矩阵和增广矩阵的秩相等即可
9. 最简单的正交矩阵：$E,-E$ 直接锁定 D 选项
10. 简单题

填空题

11. 极限的运算
12. 曲率的计算
13. 偏导的计算
14. 二重积分的计算
15. 积分的计算
16. 简答题

解答题

17. 极限的计算，taylor 展开即可
18. 求导分析函数性态
19. 偏导的证明，充分性先令 $\frac{\partial u}{\partial x}\ =\ h\text{(}x,y\text{)}$
20. 两次拉中
21. 二重积分计算题
22. 实对称矩阵，可以谱分解

余丙森五套卷

卷一

选择题

1. 等价无穷小

2. 错误

   

   3 当 $n=1$ 时显然错，1 是对的，2 是什么意思没看懂，4 居然是可积分的函数QAQ，没想到叭

3. 反常积分的收敛

4. 做一个换元 $y=y+x , x=x$

5. 简单题

6. 一点处的二阶偏导数存在，只能说明在这个方向上的一阶偏导是连续的，不能说明所有方向上的一阶偏导都是连续的

7. 做题时有个选项没搞清楚

   先证明一个结论 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$

   $$\begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx \xlongequal{\text{区间再现}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx \end{align*}$$ $$\begin{align*} \int_0^{\pi} f(\sin x) dx &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} f(\sin x) dx \\ &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx \\ &= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx \end{align*}$$

   要注意 $\sin(x+\frac{\pi}{2}) = \cos x$ ,是要看 $x+\frac{\pi}{2}$ 的 $sin$ 的取值，而不是 $cos$ 的取值，符号看象限~

8. 简单题

9. 错误

   

   线性表示的方法通过利用矩阵乘法来记忆。

   对于 D 选项

   $$[n× n] \cdot [n×1] = [n×1]$$

   所以 C 的行向量组可以由 B 的行向量组线性表示，但是说明不了 $r(B) = r(C)$ ,只有行向量组等价即行向量组相互线性表示才能说明矩阵等价，进而才能推出 $r(B) = r(C)$

   对于 C 选项

   B 是 m × s

   任何矩阵的行秩=列秩=矩阵的秩

   此时 B 列满秩，可以得出 $r(B) = s$ 两个矩阵相乘只能保证不降秩，所以 $r(A) \ge s,r(C) \ge s$

   又因为 C 是 n × s,所以 $r(C) \le s$ 进而 $r(C) = s$ ,即 C 列满秩

   同样的思路可以推出 D 选项中 A 的行向量组线性无关。

10. 矩阵方程转化为线性方程组

填空题

11. 令 $f(x) = (x-3)^3 g(x)$
12. 猜的 两个点之间会有一个根，结果是 99
13. 简单题
14. 简单题
15. 错误 含积分变量的变上限函数一定要先换元
16. 简单题

解答题

T17. 不会做啊

T18. 计算错误

T21. 在中值定理中碰到变上限积分，不妨先构造一个原函数将变上限表示出来hh

第二问出的是，构造函数在取到最值的两个点展开，用零点定理解题。

T22. 注意一些书写过程

卷二

选择题

T6

A ：考虑幂函数 $f(x) = x^a$ ，当 $a>=1$ 是显然极限存在，但 $a<1$ 时极限为无穷

B ：考虑幂函数和三角函数的结合。 $f(x) = x+ \sin x$

C ：$f(x)$ 的变化趋势和 $f'(x)$ 的变化趋势没什么关系。

D ：我觉得可以直接洛必达。

T7

注意当 $x=-1$ 时并不是极值，$x = - 1$ 是属于第二个区间里面的，$f(-1) = 0$

卷三

选择题

T8.

$AB=0$

说明 $AX=0$ 有解 B，B 属于 $AX=0$ 的解空间

$AX=0$ 的 解空间的维数 等于 $n-R(A)$

所以 $R(B)\le n-R(A)$

即 $R(A)+R(B)\le n$

这类题目通过 解空间的维数来解题，下面给出示范

$n-r(A) > 0$ 并且 $n-r\left( \begin{array}{c} A\\ B\\ \end{array} \right) = 0$ 得出 $r\left( \begin{array}{c} A\\ B\\ \end{array} \right) = n ,r(A)<n$ ,由此并不能得出 $r(B) = n$

$A$ 和 $B$ 刚好互补，且 $A,B$ 均不满秩时即可满足题设